Dovrei aver trovato, siccome ho l'esame fra poco, tanto vale che provo a ripassare scrivendo:
Intanto, due metriche
d1, e
d2 sono equivalenti se vale:
M·d1(x, y) < d2(x, y) < m·d1(x, y), con M, m > 0.Sia |·| la metrica euclidea, e sia ||·|| un'alta metrica su ℝ
n.
Sia
v un vettore in ℝ
n,
v = ∑µ
i·
ei, dove la sommatoria è sugli i e va da 1 ad n.
Si ha allora:
||
v|| = ||∑µ
i·
ei|| < ∑|µ
i|·||
ei|| < max||
ei||·∑|µ
i|
Ma |µi| = √(µi)
2 < √(∑(µi)
2 = |
v|
E in definitiva, ponendo max||ei||·n = M, ho che:
||
v|| < M·|
v|
E questo prova la prima diseguaglianza.
Per la seconda disuguaglianza, consideriamo la funzione:
f:ℝ
n→ℝ
che manda
x in ||
x||
Questa funzione è continua, e se la considero su S
n, che è compatto, avrò un minimo, e questo minimo sarà maggiore di zero. Sia
m questo valore, allora:
||
v|| = || |
v|·(
v/|
v|) ||
Ma
v/|
v| ha norma uno, e pertanto appartiente ad S
n, ho quindi:
||
b|| > |
v|·m
E questo dimostra l'altra disugualianza.
Edited by Jojo. - 27/2/2009, 18:15
Dieci anni d'indebite euforie. Adesso che l'"année terrible" è lontano tutte le celebrazioni sono possibili. Ma l'amore o l'odio che lo circonda sono (ai nostri occhi) sospetti. 1968: il tramonto tragico di tutte le rivoluzioni impossibili ha sciolto l'ultimo abbraccio dei rivoluzionari/amanti, un'epoca si è chiusa per sempre. Ma perché, allora, tutti si ostinano ad affermare il contrario?
Guardati dal mese vicino all'aprile, dicono i contadini del meridione d'Italia che hanno imparato a temere i rovesci improvvisi di marzo. Guardati, compagno, dal mese di maggio, noi non siamo più gli eredi di nessuno, bisogna ricominciare tutto da capo!
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